1:二维平面向量与向量 及 向量与标量的运算
向量可进行加、减、乘、除:
- 向量的加法add：向量+向量
- 向量的减法sub：向量-向量
- 向量的乘法mult：向量*标量
- 向量的除法div：向量/标量
- 学习心得体会:
- 1: 标量就是一个数字，只有大小，无方向。
- 2: 向量既有大写，还有方向。
- 3: 向量：有方向的线段。箭头代表方向，线段长度代表向量的大小或者长度。
- 4: 向量在形式上，可以是一个坐标(x,y)点,代表原点(0,0)沿着x轴走了x步,又沿着y轴走了y步,最后到达(x,y)点。
- 5: 向量与向量或者与标量运算后,结果是一个向量。
- 6: 向量没有特定的起始位置。只要方向和长度不变，就可以移动它并使其在任何位置开始,它仍然是相同的向量。
- 7: 向量的长度是标量，这意味着它是常规数字,而不是向量或点。
向量还有结合律、分配律:
- 结合律：（标量1*标量2）*向量=标量1*（标量2*向量）
- 分配律：（标量1+标量2）*向量=标量1*向量+标量2*向量
- 分配律：（向量1+向量2）*向量=向量1*向量+向量2*向量
- 学习心得体会:
- 1: 向量大小就是向量的长度,以像素为单位。在p5.js中，通过mag()获取。实际就是通过勾股定理由x,y,推出斜边的长度。
- 2 :标准化某个向量，就是保持该向量方向不变，将其长度变为1，即变为单位向量(1个像素)。在p5.js中，通过normalize()获取。由于一个像素在屏幕上太小了，为了能看见，一般要进行倍数的放大。
- 3: 简单化理解，向量是直角三角形的斜边。标准化向量，就是对原三角形进行缩小或者放大得到一个相似三角形。原三角形每条边都除以向量的大小，所得到的相似三角形的斜边就是单位向量。
以上是理论，下面结合在画布上画图来加深对向量的理解
2:向量与小球的运动（采用匀速度）
向量与运动结合起来，学起来有滋有味:
- 画布上的小球有一个位置和速度
- 位置和速度 都是向量
- 位置加上速度，就可以改变小球的位置
3:向量与汽车的运动（采用加速度）
效果:按住键盘向右箭头，汽车向右移动；左箭头，刹车。
操作使用说明:
- 一开始小车是静止的，右键加速，左键刹车
- 按住键盘右键不放，加速度会越来越大。
- 按住键盘左键不放，直至小车停止。
- 程序对小车的最大速度做了限制。
- 松开右键后,加速度不会继续增加会立即变为0。所以汽车不会继续加速,只会保持当前速度。
- 此程序暂时没有考虑摩擦力的因素。因为俺不会。哈哈。
状态变化解释如下：
- 初始状态:
- 加速度: (0, 0)
- 速度: (0, 0)
- 位置: 初始位置
- 第一次按下右方向键:
- 加速度: (0.1, 0)
- 速度每帧增加 0.1，例如在一帧之后速度变为 (0.1, 0)
- 第一次松开右方向键:
- 加速度: (0, 0)
- 速度保持当前值 (0.1, 0)
- 第二次按下右方向键:
- 加速度: (0.1, 0)
- 速度再次增加，例如在一帧之后速度变为 (0.2, 0)
- 第二次松开右方向键:
- 加速度: (0, 0)
- 速度保持当前值 (0.2, 0)
- 学习心得体会:
- 当前速度=初始速度+加速度
- 使用左右键，可连续改变当前速度
- 汽车的当前位置=初始位置+当前速度
- 本程序中 加速度设为(0.1,0),减速度设为(-0.1,0)
- 可见，加减速度都是固定的，只有当前速度可以一直在变化。
4:向量与用鼠标控制的小球（也采用了加速度）
效果:鼠标指哪小球就跟到哪。但到达目标时不会停止。超出画布边界后，从另一端出现。
程序思路：
- 计算从小球指向目标位置（鼠标）的向量。
- 标准化该向量（将其长度减小到1）。
- 将该向量缩放到适当的值（通过将其乘以某个值）。
- 将该向量赋值给加速度。
学习心得体会:
- 为什么小球到达目的地后，不会停止？
- 是因为，小球闷头赶路，直奔目的地，不可避免会越过目的地后，又转向奔向目的地。
- 如何让小球到达目的地后停止呢？下节再讨论
5:（加速度的大小）与距离成反比。
效果:鼠标指哪 多个小球 就会直奔过来，越靠近鼠标位置，加速越快，不会停止。
程序思路：
- 计算从小球指向目标位置（鼠标）的向量。
- 标准化该向量（将其长度减小到1）。
- 将该向量缩放到适当的值（通过将其乘以某个值）。
- 将该向量赋值给加速度。
学习心得体会:
- 为什么小球到达目的地后，不会停止？
- 是因为，小球闷头赶路，直奔目的地，不可避免会越过目的地后，又转向奔向目的地。
- 如何让小球到达目的地后停止呢？再讨论
6: 力是矢量（向量）和牛顿运动三规律
效果:还没写
牛顿第一定律：
- 静止物体静止不动，运动中的物体保持恒定的速度和方向，除非受到不平衡的力的作用。
- 解读，也就是说，运动的物体不需要任何力，就会一直运动下去。
- 解读，没有任何力的情况下，或者如果作用在物体上的力相互抵消，即净力加起来为零，物体的速度才会保持不变。这通常被称为 平衡状态。
- 解读，在p5.js中，如果物体处于平衡状态，其PVector向量速度保持不变
牛顿第二定律：
- 力等于质量乘以加速度。F=MA (F力，M质量，A加速度，其中F和A 都是向量，M是标量)
- 解读，A=F/M 加速度与力成正比，与质量成反比。
- 解读，如果你被推，你被推得越用力，你就会移动得越快（加速）。你越大，移动的速度就越慢。
- 前面说的力 等于质量乘以加速度，其实更准确的说法是 净力 等于质量乘以加速度。
- 或者说成 加速度等于 所有力的和 除以质量
- 牛顿第一定律中, 如果所有的力加起来都是零, 一个物体就会经历一个平衡状态 (即没有加速度)。我们通过一个被称为 力的累计积累的过程来实现这一点
- 将每个新力添加到加速度中，并将它们积累,或者说在任何给定时刻将所有力相加
重量(重力)与质量的区别：
- 物体的 质量 是对物体中物质量（以公斤为单位）的度量
- 解读，重量，虽然经常被误认为质量，实际上它就是物体所受的重力。从牛顿的第二定律F=MA，可得出重量=质量乘以重力加速度 (w = m * g )
- 解读，密度是单位体积的质量的量（例如，克/立方厘米）。
- 解读，地球上质量为一公斤的物体在月球上的质量仍是一公斤。不过, 它的重量只有六分之一。
牛顿第三定律：
- 力总是成对发生。这两种力量的强度相等，但方向相反。
- 解读，每一个作用力，都有一个等大和相反的反作用力。被称为 "作用力和反作用力"。
本题任务：
- 在屏幕上创建一个响应风和重力的移动对象。
程序思路：
- 在电脑屏幕上，物体的质量由n个像素组成，假设所有的物体都只有一个质量，那就是1
- 此时，F=MA => F=1*A=A,也就是物体的加速度等于力
- 此时，我豁然开朗，在前面的运动部分看到，加速度是控制对象在屏幕上运动的关键。位置由速度调整，速度由加速度调整。加速是这一切开始的地方。现在我们了解到，力 才是一切真正开始的地方。
- 牛顿第一定律中, 如果所有的力加起来都是零, 一个物体就会经历一个平衡状态 (即没有加速度)。我们通过一个被称为 力的累计积累的过程来实现这一点
- 将每个新力添加到加速度中，并将它们积累,或者说在任何给定时刻将所有力相加
学习心得体会:
- 牛顿运动规律 的概念：力是导致有质量的物体加速的矢量
- 牛顿之前，亚里士多德说：如果一个物体在移动，需要某种力量来保持它的移动，没有了力，就会停止。
- 是牛顿推翻了亚里士多德的说法。
7: 多个对象的运动
效果:
8: 重力、空气和流体阻力，基础来自摩擦力
效果:
学习心得体会:
- 一个物体通过液体或者气体时，也会发生摩擦，产生的摩擦力也叫做阻力
-
其阻力的计算公式:\( F_{d} =-\frac{1}{2} \rho v^{2} A C_{d} \hat{v} \)
- \(F_{d}\)：是阻力
- \( -\frac{1}{2} \)：是一个常数（说明，这个常数，在程序中无关紧要）
- \(\rho\)：是液体的密度(说明，为了编程需要，简化为常数1)
- \(v^{2}\)：v是物体移动的速度。物体的速度是速度向量的大小velocity.mag()
- \(A\)：是物体推动液体（或气体）的正面的面积（说明，为了编程需要，忽略这个因素）
- \(C_{d}\)：是阻力系数，和摩擦力系数（μ）完全一样。这是个根据我们想要强阻力还是弱阻力来决定的常数。
- \(\hat{v}\)：是速度的单位向量，也就是velocity.normalize()。就像摩擦力一样，阻力是作用在速度的反方向的力。
- 解读，为了能在电脑上模拟出阻力的效果，对公式做了简化，阻力=力的大小*方向
9：万有引力
每一个有质量的物体都会对其他物体施加引力。意思是小球被大球吸引同时，大球也被小球吸引。
公式：\(F=\frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{2}} \hat{r} \)
- F：引力
- G：万有引力常量。为了方便编程，让这个常数为1或者忽略它。
- \(m_{1}\)和\(m_{2}\)：物体1和物体2的质量。对于电脑屏幕上画的物体而言，并没有实际的质量。
- \(r^{2}\)：表示两个物体之间距离的平方。
- \(\hat{r} \)：方向的单位向量。此向量等于物体1和物体2 两点之间的差，然后再进行归一化。
- 程序中物体1 对物体2 施加的引力方向为：var dir = PVector.sub(location1, location2)
- 归一化为单位向量：dir.normalize()
11：两种角度模式：度数（degrees）和弧度（radians
弧度：是以圆弧长度与圆半径之比定义的角度的度量单位。一个弧度是当这个比等于一时的角度。
- 180度 = PI 弧度，360 度 = 2*PI 弧度，90 度 = PI/2 弧度
- 绘图库（如 p5.js）,所有涉及角度的函数都会使用弧度制。
12：坐标：笛卡尔坐标 与 极坐标
两者之间可互转，目前先研究二维平面上的互转，至于三维以后再说。
- 笛卡尔坐标：平面上的一个点(或者说屏幕上的一个像素位置)， 用（x,y）来表示。
- 极坐标：空间中的一个点描述为围绕原点和原点半径的旋转角度，用 (r, θ) 来表示。也就是向量的大小（长度）和方向（角度）
- 对于二维平面而言，极坐标 转化 笛卡尔坐标：
-
x = r * cos(角度θ)
- y = r * sin(角度θ)
- 注意，程序中，使用三角函数时候，参数中的角度用的都是弧度，所以要把度数转为弧度。再使用。
应用实战
-
这一类的转换在某些应用中很有用。例如，用笛卡尔坐标沿着圆形路径移动一个图像并不容易。而用极坐标就很简单：增加角度！
13：振荡振幅和周期
振荡是指物体在一个平衡位置周围来回运动的现象。这种运动通常是周期性的，也就是说它在固定的时间间隔内重复。
正弦函数的输出是一个在–1和 1之间交替的平滑曲线。这种类型的行为被称为 振荡，这是两点之间的周期性运动。
振荡的基本概念：
- 1 平衡位置：振荡物体静止时的位置。在平衡位置上，物体的净力或净能量为零。
- 2 振幅(A)：从平衡位置到最大位移的距离。它表示振荡的最大程度。
- 3 周期(T)：完成一个完整振荡所需的时间。一个周期包括从一个位置开始、到达最大位移、回到平衡位置、到达相反方向的最大位移、再回到初始位置的过程。
- 4 频率 (f)：单位时间内完成的振荡次数，通常以赫兹 (Hz) 为单位。频率与周期的关系为：\(f=\frac{1}{T} \)
- 5 角频率 (ω)：角频率是每秒钟经过的弧度数。它与频率的关系为：\(ω=2πf=\frac{2π}{T} \)
- 6 相位 (φ)：描述振荡在特定时间点上的状态。相位角通常以弧度或度数表示。
振荡的类型:
-
1 简谐振荡：最简单的振荡形式，通常由弹簧系统或钟摆来描述。其运动可以用正弦或余弦函数描述：
- x(t)=Acos(ωt+ϕ)
- 或者 x(t)=Asin(ωt+ϕ)
-
2 阻尼振荡：在简谐振荡的基础上，考虑到摩擦力或阻力的影响。振幅会随着时间逐渐减小，最终停止振荡。
-
3 受迫振荡：在外力的驱动下，系统持续振荡。外力的频率可以影响系统的振荡频率和振幅。
振荡的实例：
-
1 钟摆：当钟摆从平衡位置被拉开并释放时，它在重力作用下来回摆动。其运动是简谐振荡的一个例子。
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2 弹簧系统：当一个质量块被连接到弹簧并被拉开或压缩时，它在弹力作用下振荡。其运动可以用胡克定律和牛顿第二定律描述。
-
3 电路中的振荡：在LC电路（电感和电容）中，电流和电压会周期性地变化，形成电振荡。这在无线电波的产生和接收中非常重要。
应用案例实战:
-
此案例属于简谐振荡:有一个圆圈从画布的左侧振荡到右侧。
14：波
在屏幕上绘制一个波浪
应用实战
15：三角函数的学习
从直角三角形到任意三角形
直角三角形
- \(sin\theta =\frac{b}{c} \)
- \(cos\theta =\frac{a}{c} \)
- \(tan\theta =\frac{sin\theta}{cos\theta} =\frac{\frac{b}{c} }{\frac{a}{c} } =\frac{b}{c} \)
- 毕达哥拉斯定理：\(c^{2} =a^{2}+b^{2} \)
- 单位圆中三角恒等式：\(cos^{2} \theta +sin^{2}\theta =1\)
任意三角形
- 余弦定理：\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab cos\gamma\)
- 正弦定理：\(\frac{sin\alpha }{a} =\frac{sin\beta}{b} =\frac{sin\gamma }{c} \)
应用实战
END