第一个特征：双竖线。（一堆数字用双竖线包裹起来）
$$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right| $$
注意，不能写成“（）”或者“[]”，错误写法: $$ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right) $$ 或 $$ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right] $$
第二个特征：行数＝列数
（必须相等，不相等就不是行列式）正确写法：
$$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \\ 3 & 4 & \\ \end{array} \right| $$
错误写法： $$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right| $$ 或 $$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right| $$
总结：以上两个特征 必须同时满足，才能成为行列式，缺一不可。
行列式本质是一个数。 这意思是说，行列式就好比（1+2）这样的表达式一样，经过计算，最后的结果是一个数。
不同的行列式，形状不同，计算方法也不同。 分为：
先要搞清楚，行列式里面对角线的概念:行列式中从左上角到右下角的这条斜线，叫做正对角线。从右上角到左下角的这条斜线，叫做反对角线。 也就是说每一个行列式都有两条对角线。下面行列式中红色数字1 和4 两点形成的直线 就是正对角线。 绿色数字2和3 两点形成的直线 叫做反对角线。
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &\color{green}{2} \\ \color{green}{3} &\color{red}{4} \\ \end{array} \right| $$
上三角行列式的定义：对角线左下侧的所有数都为0 的行列式。 下面的行列式，红色数字1、5、9 形成对角线，蓝色数字0所在的区域就是对角线的左下侧。 上三角指的是：1、2、3、5、6、9形成的三角形，顾名思义，叫做上三角。
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &2 &3 \\ \color{blue}{0} &\color{red}{5} &6 \\ \color{blue}{0} &\color{blue}{0} &\color{red}{9} \end{array} \right| $$
再来研究，上三角行列式的计算（未完，待更新2024-04-24 早上9:14） ...我回来了。继续。上三角行列式的计算方法是：直接将对角线上的数相乘即可。 例如：
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &2 &3 \\ \color{blue}{0} &\color{red}{5} &6 \\ \color{blue}{0} &\color{blue}{0} &\color{red}{9} \end{array} \right| =1*5*9=45 $$
下三角行列式的定义：对角线右上侧的所有数都为 0 的行列式。 下面的行列式，红色数字1、5、9 形成对角线，蓝色数字0所在的区域就是对角线的右上侧。 下三角指的是：1、4、5、7、8、9形成的三角形，顾名思义，叫做下三角。
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \\ 4 &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ 7 &8 &\color{red}{9} \end{array} \right| $$
下三角行列式的计算方法是：直接将对角线上的数相乘即可（和上三角行列式的计算方法完全一样）。
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \\ 4 &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ 7 &8 &\color{red}{9} \end{array} \right|=1*5*9=45 $$
对角行列式的定义：除了对角线上的数以外的所有数都为 0 的行列式。换言之，对角行列式是上角行列式和下三角行列式的结合。注意：对角线本身的数中有没有 0 无所谓，只要除对角线以外的所有数都为 0 的行列式就是对角行列式。 对角行列式的计算方法：直接将对角线上的数相乘即可（和上三角行列式的计算方法、下三角行列式的计算方法完全一样）。
下面的行列式，红色数字形成对角线，蓝色数字0所在的区域都是0,至于对角线上有没有0则无所谓，所以以下两个都是对角行列式
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \\ \color{blue}0 &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ \color{blue}0 &\color{blue}{0} &\color{red}{9} \end{array} \right| $$ 、 $$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \\ \color{blue}0 &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ \color{blue}0 &\color{blue}{0} &\color{red}{0} \end{array} \right| $$
对角行列式的计算方法：直接将对角线上的数相乘即可（和上三角行列式的计算方法、下三角行列式的计算方法完全一样）。
$$ \left| \begin{array}{cccc} \color{red}{1} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \\ \color{blue}0 &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ \color{blue}0 &\color{blue}{0} &\color{red}{0} \end{array} \right|=1*5*0=0 $$
反对角行列式的定义：除了反对角线上的数以外的所有数都为 0的行列式（反对角线上的数中有没有 0都无所谓）。 如下的行列式，红色数字3、5、7形成反对角线，蓝色数字0所在区域都是0，符合定义，所以是反对角行列式。
$$\left| \begin{array}{cccc} \color{blue}{0} &\color{blue}{0} &\color{red}{3} \\ \color{blue}{0} &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ \color{red}{7} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \end{array} \right| $$
但是反对角行列式的计算，就跟前面的计算不一样了。 让我先去上班，等下班后再接着边学边写。 。。。 我回来了。反对角行列式的计算如下:
$$\left| \begin{array}{cccc} \color{blue}{0} &\color{blue}{0} &\color{red}{3} \\ \color{blue}{0} &\color{red}{5} &\color{blue}{0} \\ \color{red}{7} &\color{blue}{0} &\color{blue}{0} \end{array} \right| $$ $$ = (-1)^{n*(n-1)/2}*3*5*7 $$ $$ = (-1)^{3*(3-1)/2}*3*5*7 $$ $$ = -105 $$
聪明的你，能发现计算规律了吗？仔细看看，多看看。再往下看。。。 其中，n 是行列式的行数或者列数，后面的3、5、7 是反对角线上的数字。 至于为什么这样计算？我们先存疑，然后继续往下学，终有一天会弄懂缘由。
这里有一段需要解释，先空着，继续往下
两行两列的行列式又被称为二阶行列式，可以直接利用公式来计算。公式为：
$$ \left| \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|=ad-bc $$
举例：$$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right|=1*4-2*3=-2 $$
三行三列的行列式又被称为三阶行列式，与二阶行列式类似，可以直接利用公式来计算，公式为：
$$ \left| \begin{array}{cccc} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right| $$ =aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi
怎么样，公式有点难记住吧？我来告诉你规律：等式右侧共有六项，前三项为正，后三项为负。先说前三项,第一项aei是正对角线上的数字相乘。 第二项bfg 是去掉aei只剩六个数，然后从这六个数中找出三个不同行也不同列的数相乘就形成了bfg。第三项cdh是在前面基础上，去掉aei,去掉bfg,剩下的3个数相乘就形成cdh。 再说后三项，第一项ceg是反对角线上的数字相乘。第二项afh 是去掉ceg只剩六个数，然后从这六个数中找出三个不同行也不同列的数相乘就形成了afh。第三项bdi是在前面基础上，去掉ceg,去掉afh,剩下的3个数相乘就形成bdi。注意后三项前面都有负号。 请务必勤加练习。(要弄懂这个公式，请在纸上多加练习，以后我会添加动画来辅助说明)。
举例:
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{array}
\right|
$$
=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi
=1*5*9+2*6*7+3*4*8-3*5*7-1*6*8-2*4*9
=0
前面学习的二阶行列式和三阶行列式可以通过公式来计算，但大于三阶的行列式就没有计算公式了。那么如何计算呢，思路是把复杂变成简单的，把未知变成已知的，把高价变成低阶，把四阶变成三阶或者二阶。计算方法就是：降阶法（也叫按行列展开法）。注意：四阶或者四阶以上只能使用降阶法，而三阶既可以使用公式法，也可以使用降阶法，把三阶降为二阶。
举例：使用降阶法把三阶降为二阶。我有点偷懒四阶就不演示了。
第一步：从行列式中任意选择一行或一列。此时有六种选法：可以选择第一行1,0,-2;
可以选择第二行1,1,3；可以选择第三行-2,3,1；可以选择第一列1,1,-2；可以选择第二列0,1,3；可以选择第三列-2,3,1。从这六种选法中任意选择一种都可以，因为无论选的是那种，最后的答案都是一样的。比如我们就选择第一行，即1,0,2。
第二步：按照降阶套路来，套路是 系数*（-1）^指数 *行列式。因为是3行3列，所以有3个系数，3个行列式，所以结果是 第一个系数*（-1）^第一个指数 *第一个行列式+第二个系数*（-1）^第二个指数
*第二个行列式+
第三个系数*（-1）^第三个指数 *第三个行列式
（-1）是套路中固定的部分，这个记住就行了，（-1）前面
然后由于1处于第一行第一列，所以第一个系数是1，第一个指数是1+1。由于0处于第一行第二列，所以第二个系数是0，第二个指数是1+2。由于-2处于第一行第三列，所以第三个系数是-2，指数是1+3。然后：1，3，3，1;
1，3，-2，1; 1,1,-2,3;分别为行列式去掉1，0，-2的所在行和所在列后剩下的行列式。(这里请多看几遍，如果没有让你看明白，等我以后用动画来演示。)
$$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -2\\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| $$ $$ = 1\times \left ( -1 \right ) ^{1+1} \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1\end{bmatrix}$$ $$+ 0\times \left ( -1 \right )^{1+2} \times \begin{bmatrix} 1 & 3\\ -2 & 1 \end{bmatrix} $$ $$+ \left ( -2 \right )\times \left ( -1 \right ) ^{1+3} \times \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix} $$ $$ =-8+0-10 $$ $$ =-18 $$
为了计算的方便与快捷，以下这五条行列式的性质也请大家务必掌握。（再次说明：这不属于行列式的基本计算方法，只是性质，通过这些性质可以更快捷的计算一个行列式，请务必掌握）
一个行列式的转置等于它本身。(再说明白些，就是原行列式的值 等于 装置后的行列式的值。待会我会来验算) 先来说一下什么叫转置。把一个n行n列的行列式，第一行变成第一列，第二行变成第二列，......，第n行变为第n列后所得到的新行列式称为原行列式的转置。假设原行列式记为D，则它的转置记作$$\mathrm {D}^{T}$$
$$D= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$ $$ \mathrm {D}^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} $$
我来验算。我采用三行三列行列式的计算公式来算。 $$D= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$ $$ =aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi $$ $$ =45+84+96-105-48-72 $$ $$ =0 $$ $$ \mathrm {D}^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} $$ $$ =aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi $$ $$ =45+96+84-105-48-72 $$ $$ =0 $$ 结果都为0，所以有一个行列式的转置等于它本身(这里指的是行列式的值)
未完，关注我，一旦有空，我就会来更新。